有限数学例

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

ステップ 1

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ を方程式で書きます。

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - y^{2} + 2 y + 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $- y^{2} + 2 y + 3 = x$ として書き換えます。

$- y^{2} + 2 y + 3 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- y^{2} + 2 y + 3 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = - 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 3 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.4

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6

$4$ と $12$ をたし算します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.7

$4$ を $16 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.7.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.7.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.7.3

$4$ を $4 (4) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.8

$4 (4 - x)$ を $2^{2} (2^{2} - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.4

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.6

$4$ と $12$ をたし算します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.7

$4$ を $16 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.7.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.7.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.7.3

$4$ を $4 (4) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.8

$4 (4 - x)$ を $2^{2} (2^{2} - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.4

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.6

$4$ と $12$ をたし算します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.7

$4$ を $16 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.7.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.7.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.7.3

$4$ を $4 (4) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.8

$4 (4 - x)$ を $2^{2} (2^{2} - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ を簡約します。

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ が $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の値域、 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 4]$

ステップ 5.3

$1 + \sqrt{4 - x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{4 - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 - x \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x \geq - 4$

ステップ 5.3.2.2

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 4$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 4]$

ステップ 5.4

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ の定義域が $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ の範囲が $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ は $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例